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${\mathrm{\setminus }}_{\mathrm{o}\mathrm{h}\mathrm{\circ }\mathrm{m}\mathrm{\circ }\mathrm{l}\mathrm{\circ }\mathrm{g}\mathrm{y}}$ cohomology cohomology complete complex cotangent

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Sim ${\mathit{T}}^{\mathrm{2}}\mathrm{(}\mathrm{-}\mathit{R}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathit{R}\mathrm{=}\mathrm{[}\mathrm{2}\mathrm{,}\mathrm{1}\mathrm{]}\mathrm{\text{...}}\mathrm{.}\mathrm{,}$ $\mathit{R}\mathrm{=}\mathrm{[}\mathit{d}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{,}\mathrm{1}\mathrm{]}\mathrm{;}\dim {\mathit{T}}^{\mathrm{1}}\mathrm{=}\mathrm{2}\mathit{d}\mathrm{-}\mathrm{4}$. $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{\}}$,

$\mathrm{\Lambda }\mathrm{:}\mathrm{=}\mathrm{\{}\mathit{R}\mathrm{\in }{\mathbb{Z}}^{\mathrm{2}}\mathrm{|}\mathit{R}\mathrm{\ge }\mathrm{0}{\mathit{C}}^{\mathit{n}}\mathrm{\left(}\mathit{K}\mathrm{\right)}\mathrm{\to }{\mathit{C}}^{\mathit{n}\mathrm{+}\mathrm{1}}\mathrm{\left(}\mathit{K}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{\{}\mathit{r}\mathrm{\in }{\mathbb{Z}}^{\mathrm{2}}\mathrm{\setminus }\mathrm{\{}\mathrm{0}\mathrm{\left\}}\mathrm{\right|}\mathit{r}\mathrm{\ge }\mathrm{0}$ int $\mathrm{\Lambda }\mathrm{:}\mathrm{=}\mathrm{\{}\mathit{R}\mathrm{\in }{\mathbb{Z}}^{\mathrm{2}}\mathrm{|}\mathit{R}\mathrm{>}\mathrm{0}$${\mathit{K}}_{\mathit{R}}$ $\mathrm{:}\mathrm{=}{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{+}}\mathrm{\cap }$( $\mathit{R}$ -int $\mathrm{\Lambda }$) ${\mathit{T}}^{\mathit{n}}\mathrm{(}\mathrm{-}\mathit{R}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathit{H}{\mathit{A}}^{\mathit{n}\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathrm{\left(}{\mathit{K}}_{\mathit{R}}\mathrm{\right)}$

$\mathit{d}\mathrm{:}{\mathit{K}}_{\mathit{R}}\mathit{\sigma }\mathrm{,}$ ${\mathit{T}}^{\mathrm{2}}\mathit{r}\mathrm{<}\mathit{R}\mathit{\sigma }\mathrm{\}}\mathrm{,}$ $\mathit{K}\mathrm{\subset }{\mathbb{Z}}^{\mathrm{2}}\mathit{n}\mathrm{\ge }\mathrm{3}$. $\mathit{C}\mathrm{\left(}\mathit{K}\mathrm{\right)}$ C' $\mathrm{\left(}\mathit{K}\mathrm{\right)}\mathit{R}\mathrm{\in }{\mathbb{Z}}^{\mathrm{2}}\mathrm{,}$ ${\mathit{T}}^{\mathrm{1}}\mathrm{(}\mathrm{-}\mathit{R}\mathrm{)}{\mathit{C}}^{\mathit{n}}\mathrm{\left(}\mathit{K}\mathrm{\right)}$ $\mathrm{:}\mathrm{=}$

$\mathit{H}\mathit{A}\mathrm{\left(}\mathit{K}\mathrm{\right)}\mathrm{,}$ $\mathit{R}\mathrm{=}\mathrm{[}\mathrm{1}\mathrm{,}\mathrm{1}\mathrm{]}\mathit{\sigma }\mathrm{\setminus }\mathrm{\left\{}\mathrm{0}\mathrm{\right\}}\mathrm{\}}$. $\mathit{\sigma }\mathrm{\setminus }\mathrm{\left\{}\mathrm{0}\mathrm{\right\}}\mathrm{\}}$. $\mathrm{[}\mathit{d}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{,}\mathrm{1}\mathrm{]}$. ${\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{+}}\mathrm{:}\mathrm{=}\mathrm{\Lambda }\mathrm{\setminus }\mathrm{\left\{}\mathrm{0}\mathrm{\right\}}$

$\mathrm{+}\mathrm{(}\mathrm{-}\mathrm{1}{\mathrm{)}}^{\mathit{n}\mathrm{+}\mathrm{1}}\mathit{\phi }\mathrm{(}{\mathit{\lambda }}_{\mathrm{0}}\mathrm{,}\mathrm{}\mathrm{\text{...}}\mathrm{,}\mathrm{}{\mathit{\lambda }}_{\mathit{n}\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathrm{)}$. $\mathrm{\{}\mathit{\phi }$ a $\mathrm{\left\{}\mathrm{\right(}{\mathit{\lambda }}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{}\mathrm{\text{...}}\mathrm{,}\mathrm{}{\mathit{\lambda }}_{\mathit{n}}\mathrm{)}\mathrm{\in }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{+}}^{\mathit{n}}\mathrm{|}{{\displaystyle \sum }}_{\mathit{v}}{\mathit{\lambda }}_{\mathit{v}}\mathrm{\in }\mathit{K}\mathrm{\}}\mathrm{\to }\mathbb{C}\mathrm{|}\mathit{\phi }$

$\mathrm{\left(}\mathit{d}\mathit{\phi }\mathrm{\right)}\mathrm{(}{\mathit{\lambda }}_{\mathrm{0}}\mathrm{,}\mathrm{}\mathrm{\text{...}}\mathrm{,}\mathrm{}{\mathit{\lambda }}_{\mathit{n}}\mathrm{)}\mathrm{:}\mathrm{=}\mathit{\phi }\mathrm{(}{\mathit{\lambda }}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{}\mathrm{\text{...}}\mathrm{,}\mathrm{}{\mathit{\lambda }}_{\mathit{n}}\mathrm{)}\mathrm{+}{\displaystyle \sum }_{\mathit{v}\mathrm{=}\mathrm{1}}^{\mathit{n}}\mathrm{(}\mathrm{-}\mathrm{1}{\mathrm{)}}^{\mathit{v}}\mathit{\phi }\mathrm{(}{\mathit{\lambda }}_{\mathrm{0}}\mathrm{,}\mathrm{}\mathrm{\text{...}}\mathrm{,}\mathrm{}{\mathit{\lambda }}_{\mathit{v}\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathrm{+}{\mathit{\lambda }}_{\mathit{v}}\mathrm{,}\mathrm{}\mathrm{\text{...}}\mathrm{,}\mathrm{}{\mathit{\lambda }}_{\mathit{n}}\mathrm{)}$

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