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Algebra Practice Problems for Precalculus and Calculus

Solve the following equations for the unknown $\mathit{x}$:

1. $\mathrm{5}\mathrm{=}\mathrm{7}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{6}$

2. $\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{=}\mathrm{5}\mathrm{-}\mathit{x}$

3. $\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{\right)}\mathrm{+}\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{7}\mathrm{+}\mathrm{3}\mathrm{\left(}\mathrm{4}\mathrm{-}\mathit{x}\mathrm{\right)}$

4. $\frac{\mathrm{5}}{\mathit{x}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{2}}{\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{3}}$

Multiply the indicated polynomials and simplify. 5. $\mathrm{\left(}\mathrm{4}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\right)}$

6. $\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{\right)}$

7. $\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{\right)}$

8. $\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\right)}$

9. $\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\right)}$

10. $\mathrm{\left(}{\mathit{x}}^{\mathrm{3}}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}{\mathit{x}}^{\mathrm{3}}\mathrm{-}\mathrm{5}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{4}\mathrm{\right)}$

Find the domain of each ofthe following functions in 11-15. 11. $\mathit{f}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\sqrt{\mathrm{1}\mathrm{+}\mathit{x}}$

12. $\mathit{f}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}\mathrm{+}\mathit{x}}$

13. $\mathit{f}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathit{x}}}$

14. $\mathit{f}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{1}\mathrm{+}\mathit{x}}}$

15. $\mathit{f}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}\mathrm{+}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}}$

16. Given that $\mathit{f}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{\right)}\mathrm{=}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{4}$, find and simplify $\mathit{f}\mathrm{\left(}\mathrm{3}\mathrm{\right)}\mathrm{,}$ $\mathit{f}\mathrm{\left(}\mathit{a}\mathrm{\right)}\mathrm{,}$ $\mathit{f}\mathrm{\left(}\mathrm{-}\mathit{t}\mathrm{\right)}$ , and $\mathit{f}\mathrm{\left(}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{\right)}$ .

Factor the following quadratics 17. ${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{0}$

18. ${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{0}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{1}$

19. ${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{0}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{6}$

20. ${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{8}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{0}\mathrm{5}$

21. $\mathrm{4}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{1}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{3}$

22. $\mathrm{-}\mathrm{2}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{7}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{5}$

23. ${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{2}$

1

Solve the following quadratic equations in three ways: 1) factor, 2) quadratic formula, 3) complete the square 24. ${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{6}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{6}\mathrm{=}\mathrm{0}$

25. $\mathrm{-}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{=}\mathrm{0}$

26. $\mathrm{2}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{=}\mathrm{0}$

Solve the following smorgasbord of equations and inequalities 27. $\sqrt{\mathit{x}}\mathrm{=}\sqrt{\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}}$

28. $\sqrt{{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{3}}\mathrm{=}\sqrt{\mathrm{2}\mathit{x}}$

29. $\mathrm{|}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{5}\mathrm{|}\mathrm{=}\mathrm{4}$

30. $\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{4}\underset{\mathrm{‾}}{\mathrm{>}}\mathrm{3}$

31. $\mathrm{-}\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{4}\underset{\mathrm{‾}}{\mathrm{>}}\mathrm{3}$

32. $\frac{\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{4}}{\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{3}}\mathrm{=}\mathrm{2}$

33. ${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{>}\mathrm{0}$

34. $\frac{\mathit{x}}{\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{3}}{\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{4}}$

35. $\frac{{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{1}}{\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\right)}}\mathrm{-}\frac{{\mathit{x}}^{\mathrm{3}}}{\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{3}}$

Simplify the following rational expressions (if possible): 36. $\frac{{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}}{{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{1}}$

37. $\frac{{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{5}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{6}}{{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}}$

38.

$\frac{\frac{\mathit{x}}{\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{3}}{\frac{\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{1}}{\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}}}$

Solutions

1. Given that $\mathrm{5}\mathrm{=}\mathrm{7}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{6}$, add 16 to both sides to get $\mathrm{7}\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{2}\mathrm{1}$. Now divide both sides by 7 to get $\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{3}$. Checking, we see that 7 (3) $\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{6}\mathrm{=}\mathrm{2}\mathrm{1}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{6}\mathrm{=}\mathrm{5}\mathrm{.}$

2. Given that $\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{=}\mathrm{5}\mathrm{-}\mathit{x}$, add $\mathit{x}$ to both sides and then add 3 to both sides to get $\mathrm{3}\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{8}$. Now divide both sides by 3 to get $\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{8}\mathrm{/}\mathrm{3}\mathrm{=}\mathrm{2}\mathrm{.}\overline{\mathrm{6}}$. Checking, we see that $\mathrm{2}\mathrm{\left(}\mathrm{8}\mathrm{/}\mathrm{3}\mathrm{\right)}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}\mathrm{6}}{\mathrm{3}}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}\mathrm{6}}{\mathrm{3}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{3}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}}$ and $\mathrm{5}\mathrm{-}\mathrm{\left(}\mathrm{8}\mathrm{/}\mathrm{3}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}\mathrm{5}}{\mathrm{3}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}}\mathrm{.}$

3. Given that $\mathrm{2}\mathrm{1}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{\right)}\mathrm{+}\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{7}\mathrm{+}\mathrm{3}\mathrm{\left(}\mathrm{4}\mathrm{-}\mathit{x}\mathrm{\right)}$ , we first simplify the left and right hand sides using the distributive property to get ${\mathrm{2}}^{\mathit{X}}\mathrm{1}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{3}\mathrm{+}\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{7}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{2}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathit{x}$. Combining like terms on both sides gives ${\mathrm{2}}^{\mathit{X}}\mathrm{3}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{3}\mathrm{=}\mathrm{2}\mathrm{9}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathit{x}$. Now we add $\mathrm{3}\mathit{x}$ and 23 to both sides, obtaining ${\mathrm{2}}^{\mathit{X}}\mathrm{9}\mathrm{=}\frac{\mathrm{6}\mathrm{1}}{\mathrm{2}}$. Dividing both sides by 29 (or multiplying both sides by 92) gives $\mathit{x}\mathrm{=}\frac{\mathrm{6}\mathrm{1}}{\mathrm{2}}$ $\mathrm{9}\mathrm{2}\mathrm{=}\frac{\mathrm{6}\mathrm{1}}{\mathrm{9}}$. Checking we see that $\mathit{L}\mathit{H}\mathit{S}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}$ $\mathrm{\left(}\frac{\mathrm{6}\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{2}\mathrm{7}}{\mathrm{9}}\mathrm{\right)}\mathrm{+}\frac{\mathrm{6}\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{3}\mathrm{4}}{\mathrm{9}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{6}\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}\mathrm{7}}{\mathrm{9}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{6}\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{7}\mathrm{8}}{\mathrm{9}}$ and $\mathit{R}\mathit{H}\mathit{S}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{7}\mathrm{+}\mathrm{3}$ $\mathrm{\left(}\frac{\mathrm{3}\mathrm{6}}{\mathrm{9}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{6}\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{7}\mathrm{+}\mathrm{3}\mathrm{\cdot }\mathrm{\left(}\frac{\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{5}}{\mathrm{9}}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{7}\mathrm{-}\frac{\mathrm{7}\mathrm{5}}{\mathrm{9}}\mathrm{=}$

$\frac{\mathrm{1}\mathrm{5}\mathrm{3}}{\mathrm{9}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{7}\mathrm{5}}{\mathrm{9}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{7}\mathrm{8}}{\mathrm{9}}\mathrm{.}$

2

4. Given that $\frac{\mathrm{5}}{\mathit{x}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{2}}{\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{3}}$, we ""cross-multiply“ to obtain $\mathrm{5}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{2}\mathit{x}$. Distributing the 5 gives $\mathrm{5}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{5}\mathrm{=}\mathrm{2}\mathit{x}$. Subtracting $\mathrm{2}\mathit{x}$ and adding 15 to both sides gives $\mathrm{3}\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{5}$. Dividing both sides by 3 gives $\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{5}$. Checking, we see that $\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{5}}\mathrm{=}\mathrm{1}$ and $\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}\mathrm{-}\mathrm{3}}\mathrm{=}\mathrm{2}\mathrm{2}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{.}$

NOTE: Checking is very important in this kind ofproblem. When there are $\mathit{x}$'s in the denominator of fr actions in equations, it is possible that your final ""solution“ doesn't satisfy the original equation (because you would divide by zero) $\mathrm{s}\mathrm{o}$ it is really not a solution to the original problem.

In the ""multiply and simplify“ problems, we must multiply each term in the left-hand factor with each term in the right-hand factor, and then simplify by combining like terms. In the case of binomial $\mathrm{×}$ binomial, we can use the so-called FOIL method. 5. $\mathrm{\left(}\mathrm{4}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{2}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{8}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{3}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{2}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{1}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{.}$

6. $\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{=}{\mathit{x}}^{\mathrm{3}}\mathrm{+}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathit{x}\mathrm{-}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{=}{\mathit{x}}^{\mathrm{3}}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{.}$

7. $\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{=}{\mathit{x}}^{\mathrm{3}}\mathrm{-}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathit{x}\mathrm{+}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{=}{\mathit{x}}^{\mathrm{3}}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{.}$

8. $\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{=}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{=}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{.}$

9. $\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{=}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{4}\mathrm{=}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{4}\mathrm{.}$

10. $\mathrm{\left(}{\mathit{x}}^{\mathrm{3}}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}{\mathit{x}}^{\mathrm{3}}\mathrm{-}\mathrm{5}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{4}\mathrm{\right)}\mathrm{=}{\mathit{x}}^{\mathrm{6}}\mathrm{-}\mathrm{5}{\mathit{x}}^{\mathrm{5}}\mathrm{+}\mathrm{4}{\mathit{x}}^{\mathrm{3}}\mathrm{+}\mathrm{2}{\mathit{x}}^{\mathrm{4}}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{0}{\mathit{x}}^{\mathrm{3}}\mathrm{+}\mathrm{8}\mathit{x}\mathrm{-}{\mathit{x}}^{\mathrm{3}}\mathrm{+}\mathrm{5}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{=}{\mathit{x}}^{\mathrm{6}}\mathrm{-}\mathrm{5}{\mathit{x}}^{\mathrm{5}}\mathrm{+}\mathrm{2}{\mathit{x}}^{\mathrm{4}}\mathrm{-}\mathrm{7}{\mathit{x}}^{\mathrm{3}}\mathrm{+}\mathrm{5}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{8}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{4}$ 11. For a number $\mathit{x}$ to be in the domain ofthe function $\mathit{f}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\sqrt{\mathrm{1}\mathrm{+}\mathit{x}}$, we require $\mathrm{1}\mathrm{+}\mathit{x}\underset{\mathrm{‾}}{\mathrm{>}}\mathrm{0}$ (so we don't take the square root ofa negative number). Subtracting 1 fr om both sides ofthis inequality yields $\mathit{x}\underset{\mathrm{‾}}{\mathrm{>}}\mathrm{-}\mathrm{1}$. Thus, in interval notation, the domain is the set $\mathrm{\left[}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{,}\mathrm{}\mathrm{\infty }\mathrm{\right)}$ .

12. For a number $\mathit{x}$ to be in the domain ofthe function $\mathit{f}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}\mathrm{+}\mathit{x}}$, we require $\mathrm{1}\mathrm{+}\mathit{x}\mathrm{\ne }\mathrm{0}$ (so we don't divide by zero). Thus, we require $\mathit{x}\mathrm{\ne }\mathrm{-}\mathrm{1}$. In interval notation, the domain is the set $\mathrm{\left(}\mathrm{,}\mathrm{}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{\cup }\mathrm{\left(}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{,}\mathrm{}\mathrm{\infty }\mathrm{\right)}$ .

13. For a number $\mathit{x}$ to be in the domain ofthe function $\mathit{f}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathit{x}}}$, we require $\mathit{x}\mathrm{>}\mathrm{0}$ (so we don't divide by zero or take the square root of a negative number). In interval notation, the domain is the set $\mathrm{\left(}\mathrm{0}\mathrm{,}\mathrm{}\mathrm{\infty }\mathrm{\right)}$ .

14. For a number $\mathit{x}$ to be in the domain ofthe function $\mathit{f}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{1}\mathrm{+}\mathit{x}}}$, we require $\mathrm{1}\mathrm{+}\mathit{x}\mathrm{>}\mathrm{0}$ (so we don't divide by zero or take the square root of a negative number). Subtracting 1 fr om both sides ofthis inequality yields $\mathit{x}\mathrm{>}\mathrm{-}\mathrm{1}$. Thus, in interval notation, the domain is the set $\mathrm{\left(}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{,}\mathrm{}\mathrm{\infty }\mathrm{\right)}$ .

15. For a number $\mathit{x}$ to be in the domain ofthe function $\mathit{f}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}\mathrm{+}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}}$, we require that $\mathrm{1}\mathrm{+}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{\ne }\mathrm{0}$ (so we don't divide by zero). But no matter what $\mathit{x}$ is, $\mathrm{1}\mathrm{+}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{>}\mathrm{0}$. Therefore, the domain is $\mathbb{R}$, the set of all real numbers.

16. $\mathit{f}\mathrm{\left(}\mathrm{3}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{\left(}\mathrm{3}{\mathrm{\right)}}^{\mathrm{2}}$ -3(3) $\mathrm{+}\mathrm{4}\mathrm{=}\mathrm{9}\mathrm{-}\mathrm{9}\mathrm{+}\mathrm{4}\mathrm{=}\mathrm{4}\mathrm{,}$ $\mathit{f}\mathrm{\left(}\mathit{a}\mathrm{\right)}\mathrm{=}{\mathit{a}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathit{a}\mathrm{+}\mathrm{4}\mathrm{,}$ $\mathit{f}\mathrm{\left(}\mathrm{-}\mathit{t}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{\left(}\mathrm{-}\mathit{t}{\mathrm{\right)}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{\left(}\mathrm{-}\mathit{t}\mathrm{\right)}\mathrm{+}\mathrm{4}\mathrm{=}{\mathit{t}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{3}\mathit{t}\mathrm{+}\mathrm{4}$, and

$\mathit{f}\mathrm{\left(}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{\left(}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{1}{\mathrm{\right)}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{\left(}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{+}\mathrm{4}\mathrm{=}{\mathit{x}}^{\mathrm{4}}\mathrm{+}\mathrm{2}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{-}\mathrm{3}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{+}\mathrm{4}\mathrm{=}{\mathit{x}}^{\mathrm{4}}\mathrm{-}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{.}$

By trial & error, we see that:

17. ${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{0}\mathrm{=}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{5}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{4}\mathrm{\right)}$

18. ${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{0}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{1}\mathrm{=}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{7}\mathrm{\right)}$

19. ${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{0}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{6}\mathrm{=}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{8}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\right)}$

20. ${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{8}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{0}\mathrm{5}\mathrm{=}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{5}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{7}\mathrm{\right)}$

21. $\mathrm{4}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{1}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{=}\mathrm{\left(}\mathrm{4}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{3}\mathrm{\right)}$

22. $\mathrm{-}\mathrm{2}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{7}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{5}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{\left(}\mathrm{2}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{7}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{5}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{\left(}\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{3}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{5}\mathrm{\right)}$

23. ${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{=}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{\right)}$ tricky, tricky, tricky!!! :)

3

24. ${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{6}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{6}\mathrm{=}\mathrm{0}$

(a) By factoring: ${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{6}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{6}\mathrm{=}\mathrm{0}$ implies that $\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{8}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{0}$. Thus, $\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{8}$ or $\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{2}\mathrm{.}$

$\mathit{x}\mathrm{=}\frac{\mathrm{-}\mathit{b}\mathrm{±}\sqrt{{\mathit{b}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathit{a}\mathit{c}}}{\mathrm{2}\mathit{a}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{-}\mathrm{6}\mathrm{±}\sqrt{\mathrm{3}\mathrm{6}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{\left(}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{6}\mathrm{\right)}}}{\mathrm{2}\mathrm{\left(}\mathrm{1}\mathrm{\right)}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{-}\mathrm{6}\mathrm{±}\sqrt{\mathrm{1}\mathrm{0}\mathrm{0}}}{\mathrm{2}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{-}\mathrm{6}\mathrm{±}\mathrm{1}\mathrm{0}}{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{2}$ or $\mathrm{-}\mathrm{8}$

(c) By completing the square: by adding 16 to both sides of ${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{6}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{6}\mathrm{=}\mathrm{0}$, we get ${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{6}\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{6}$. Now, adding $\mathrm{9}\mathrm{=}{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{\left(}\mathrm{6}\mathrm{/}\mathrm{2}{\mathrm{\right)}}^{\mathrm{2}}$ to both sides makes the left-hand side a perfect square: ${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{6}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{9}\mathrm{=}\mathrm{2}\mathrm{5}$. We can factor the left hand side to get $\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{3}{\mathrm{\right)}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{2}\mathrm{5}$. Now take the square root of both sides, allowing for the two square roots of25 on the right hand side to obtain $\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{3}\mathrm{=}\mathrm{±}\mathrm{5}$. Subtracting 3 fr om both sides gives $\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{±}\mathrm{5}$. In other words, $\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{8}$ or $\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{2}\mathrm{.}$

Checking: $\mathrm{\left(}\mathrm{-}\mathrm{8}{\mathrm{\right)}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{6}\mathrm{\left(}\mathrm{-}\mathrm{8}\mathrm{\right)}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{6}\mathrm{=}\mathrm{6}\mathrm{4}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{8}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{6}\mathrm{=}\mathrm{0}$ and (2) $\mathrm{+}\mathrm{6}\mathrm{\left(}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{6}\mathrm{=}\mathrm{4}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{2}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{6}\mathrm{=}\mathrm{0}\mathrm{.}$

25. $\mathrm{-}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{=}\mathrm{0}$

(a) By factoring: $\mathrm{-}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{=}\mathrm{0}$ implies that ${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{3}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{=}\mathrm{0}$ (multiply both sides by $\mathrm{-}\mathrm{1}$). Factoring gives $\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{0}$. Thus, $\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{1}$ or $\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{.}$

$\mathit{x}\mathrm{=}\frac{\mathrm{-}\mathit{b}\mathrm{±}\sqrt{{\mathit{b}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathit{a}\mathit{c}}}{\mathrm{2}\mathit{a}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{3}\mathrm{±}\sqrt{\mathrm{9}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{\left(}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\right)}}}{\mathrm{2}\mathrm{\left(}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{3}\mathrm{±}\sqrt{\mathrm{1}}}{\mathrm{-}\mathrm{2}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{3}\mathrm{±}\mathrm{1}}{\mathrm{-}\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{2}$ or $\mathrm{-}\mathrm{1}$

(c) By completing the square: by adding 2 to both sides of $\mathrm{-}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{=}\mathrm{0}$, we get $\mathrm{-}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{2}$. Now, multiply both sides by-1 to get ${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{3}\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{2}$. Now, adding $\mathrm{9}\mathrm{/}\mathrm{4}\mathrm{=}\mathrm{\left(}\mathrm{3}\mathrm{/}\mathrm{2}{\mathrm{\right)}}^{\mathrm{2}}$ to both sides makes the left-hand side a perfect square: ${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{3}\mathit{x}\mathrm{+}\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{+}\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}$. We can factor the left hand side to get $\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{\mathrm{\right)}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}$. Now take the square root of both sides, allowing for the two square roots $\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{1}\mathrm{/}\mathrm{4}$ on the right hand side to obtain $\mathit{x}\mathrm{+}\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{±}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}$. Subtracting 3/2 from both sides gives $\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{-}\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{±}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}$. In other words, $\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{1}$ or $\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{.}$

Checking: $\mathrm{-}\mathrm{\left(}\mathrm{-}\mathrm{1}{\mathrm{\right)}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{\left(}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{+}\mathrm{3}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{=}\mathrm{0}$ and $\mathrm{-}\mathrm{\left(}\mathrm{-}\mathrm{2}{\mathrm{\right)}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{\left(}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{+}\mathrm{6}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{=}\mathrm{0}\mathrm{.}$ 26. $\mathrm{2}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{=}\mathrm{0}$

(a) By factoring: $\mathrm{2}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{=}\mathrm{0}$ implies that ${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{=}\mathrm{0}$ (divide both sides by 2). Factoring gives $\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{0}\mathrm{.}$ Thus, $\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{2}$ or $\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{.}$

$\mathit{x}\mathrm{=}\frac{\mathrm{-}\mathit{b}\mathrm{±}\sqrt{{\mathit{b}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathit{a}\mathit{c}}}{\mathrm{2}\mathit{a}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{±}\sqrt{\mathrm{4}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{\left(}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{\right)}}}{\mathrm{2}\mathrm{\left(}\mathrm{2}\mathrm{\right)}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{±}\sqrt{\mathrm{3}\mathrm{6}}}{\mathrm{4}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{±}\mathrm{6}}{\mathrm{4}}\mathrm{=}\mathrm{1}$ or $\mathrm{-}\mathrm{2}$

(c) By completing the square: by adding 4 to both sides of $\mathrm{2}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{=}\mathrm{0}$, we get $\mathrm{2}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{4}$. Now divide both sides by 2 to give us ${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{2}$. Now, adding $\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{=}\mathrm{\left(}\mathrm{1}\mathrm{/}\mathrm{2}{\mathrm{\right)}}^{\mathrm{2}}$ to both sides makes the left-hand side a perfect square: ${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathit{x}\mathrm{+}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{=}\mathrm{2}\mathrm{+}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}$. We can factor the left hand side to get $\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\mathrm{\right)}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}$. Now take the square root of both sides, allowing for the two square roots of 49 on the right hand side to obtain $\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{1}\mathrm{=}{\mathrm{±}}^{\mathrm{3}}\mathrm{2}$. Subtracting 1/2 from both sides gives $\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{-}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{±}\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}$. In other words, $\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{1}$ or $\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{.}$

Checking: 2 (1) $\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\left(}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{=}\mathrm{2}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{=}\mathrm{0}$ and 2 $\mathrm{\left(}\mathrm{-}\mathrm{2}{\mathrm{\right)}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\left(}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{=}\mathrm{8}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{0}\mathrm{=}\mathrm{0}\mathrm{.}$

27. Squaring both sides of $\sqrt{\mathit{x}}\mathrm{=}\sqrt{\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}}$ gives $\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}$. Solving this equation for $\mathit{x}$ gives us $\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{1}$. Checking in the original equation: $\mathit{L}\mathit{H}\mathit{S}\mathrm{=}\sqrt{\mathrm{1}}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{,}$ $\mathit{R}\mathit{H}\mathit{S}\mathrm{=}\sqrt{\mathrm{2}\mathrm{\left(}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathrm{=}\sqrt{\mathrm{1}}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{.}$

28. Squaring both sides of $\sqrt{{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{3}}\mathrm{=}\sqrt{\mathrm{2}\mathit{x}}$ gives ${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{=}\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{.}$ Subtract 2$\mathit{x}$ fr om both sides to get ${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{=}\mathrm{0}$. The left-hand

side can now be factored to give $\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{0}$, so $\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{3}$ or $\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{1}$. CHECKING in the ORIGINAL equation:

$\mathit{L}\mathit{H}\mathit{S}\mathrm{=}\sqrt{\mathrm{\left(}\mathrm{3}{\mathrm{\right)}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{3}}\mathrm{=}\sqrt{\mathrm{9}\mathrm{-}\mathrm{3}}\mathrm{=}\sqrt{\mathrm{6}}\mathrm{=}\sqrt{\mathrm{2}\mathrm{\left(}\mathrm{3}\mathrm{\right)}}\mathrm{=}\mathit{R}\mathit{H}\mathit{S}$, however, ifyou plug $\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{1}$ into either side ofthis equation, you get the square root ofa negative number. Therefore, for us, $\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{1}$ is not a solution (even though the LHS and RHS are equal the imaginary number $\sqrt{\mathrm{-}\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathit{j}\sqrt{\mathrm{2}}$).

4

29. $\mathrm{|}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{5}\mathrm{|}\mathrm{=}\mathrm{4}$ implies that either $\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{5}\mathrm{=}\mathrm{4}$ or $\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{5}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{4}$. Thus, either $\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{9}$ or $\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{1}$. Checking shows that both of these numbers are solutions: $\mathrm{|}\mathrm{9}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{|}\mathrm{=}\mathrm{|}\mathrm{4}\mathrm{|}\mathrm{=}\mathrm{4}$ and $\mathrm{|}\mathrm{1}\mathrm{-}\mathrm{5}\mathrm{|}\mathrm{=}\mathrm{|}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{|}\mathrm{=}\mathrm{4}\mathrm{.}$

30. Subtracting 4 fr om both sides $\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{4}\underset{\mathrm{‾}}{\mathrm{>}}\mathrm{3}$ gives $\mathrm{2}\mathit{x}\underset{\mathrm{‾}}{\mathrm{>}}\mathrm{-}\mathrm{1}$. Now divide both sides by 2 to get $\mathit{x}\underset{\mathrm{‾}}{\mathrm{>}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}$. The logic also works in the other direction: if $\mathit{x}\underset{\mathrm{‾}}{\mathrm{>}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}$, this will imply that $\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{4}\underset{\mathrm{‾}}{\mathrm{>}}\mathrm{3}$. Thus, the solution set is the interval $\mathrm{\left[}\mathrm{hyphen}\mathrm{}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{,}\mathrm{}\mathrm{\infty }$).

31. Subtracting 4 fr om both sides of $\mathrm{-}\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{4}\underset{\mathrm{‾}}{\mathrm{>}}\mathrm{3}$ gives $\mathrm{-}\mathrm{2}\mathit{x}\underset{\mathrm{‾}}{\mathrm{>}}\mathrm{-}\mathrm{1}$. Now divide both sides by $\mathrm{-}\mathrm{2}$ and switch the direction of the inequality to get $\mathit{x}\underset{\mathrm{‾}}{\mathrm{<}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}$. The logic also works in the other direction: if $\mathit{x}\underset{\mathrm{‾}}{\mathrm{<}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}$, this will imply that $\mathrm{-}\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{4}\underset{\mathrm{‾}}{\mathrm{>}}\mathrm{3}$. Thus, the solution set is the interval $\mathrm{\left(}\mathrm{,}\mathrm{}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}$].

32. Take the equation $\frac{\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{4}}{\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{3}}\mathrm{=}\mathrm{2}$ and multiply both sides by $\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{3}$ to get $\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{4}\mathrm{=}\mathrm{2}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{\right)}$ . Now solve this equation: $\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{4}\mathrm{=}$ $\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{6}\mathrm{\to }\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{0}$. Checking: $\frac{\mathrm{1}\mathrm{0}\mathrm{+}\mathrm{4}}{\mathrm{1}\mathrm{0}\mathrm{-}\mathrm{3}}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{4}\mathrm{/}\mathrm{7}\mathrm{=}\mathrm{2}\mathrm{.}$

33. ${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{>}\mathrm{0}$ implies that $\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{>}\mathrm{0}$. Thus, either $\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{>}\mathrm{0}$ and $\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{>}\mathrm{0}$ OR $\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{<}\mathrm{0}$ and $\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{<}\mathrm{0}$. Thus, either $\mathit{x}\mathrm{>}\mathrm{2}$ and $\mathit{x}\mathrm{>}\mathrm{-}\mathrm{1}$ OR $\mathit{x}\mathrm{<}\mathrm{2}$ and $\mathit{x}\mathrm{<}\mathrm{-}\mathrm{1}$. Thus, either $\mathit{x}\mathrm{>}\mathrm{2}$ OR $\mathit{x}\mathrm{<}\mathrm{-}\mathrm{1}$. The logic also works in the other direction: if $\mathit{x}\mathrm{>}\mathrm{2}$ OR $\mathit{x}\mathrm{<}\mathrm{-}\mathrm{1}$, then $\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{>}\mathrm{0}$ so ${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{>}\mathrm{0}$. Thus, the solution set is $\mathrm{\left(}\mathrm{,}\mathrm{}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{\cup }\mathrm{\left(}\mathrm{2}\mathrm{,}\mathrm{}\mathrm{\infty }\mathrm{\right)}$ .

34. We need to get a common denominator. The simplest one to choose is $\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{\right)}$ . Multiplying the top and bottom ofthe first fr action by $\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{4}$ and multiplying the top and bottom ofthe second fraction by $\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}$ and combining the fr actions produces:

$\frac{\mathit{x}}{\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{3}}{\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{4}}\mathrm{=}\frac{\mathit{x}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{\right)}}{\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{\right)}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{3}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\right)}}{\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{\right)}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{\left(}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathit{x}\mathrm{\right)}\mathrm{+}\mathrm{\left(}\mathrm{3}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{6}\mathrm{\right)}}{\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{\right)}}$

Simplify ing the top and bottom gives us:

${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{6}$

${\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{8}$

Ifthere were a common factor on the top and bottom, we would cancel it out. However, there are no common factors. Therefore, this is our final answer.

35. We need to get a common denominator. The simplest one to choose is $\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{\right)}$ . Multiplying the top and bottom ofthe first fraction by $\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{3}$ and multiplying the top and bottom of the second fr action by $\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\right)}$ and combining the fractions produces the following expressions (which are equal to the original):

$\frac{\mathrm{\left(}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{\right)}}{\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{\right)}}\mathrm{-}\frac{{\mathit{x}}^{\mathrm{3}}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\right)}}{\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{\right)}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{\left(}{\mathit{x}}^{\mathrm{3}}\mathrm{-}\mathrm{3}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{\right)}\mathrm{-}\mathrm{\left(}{\mathit{x}}^{\mathrm{5}}\mathrm{-}\mathrm{3}{\mathit{x}}^{\mathrm{4}}\mathrm{+}\mathrm{2}{\mathit{x}}^{\mathrm{3}}\mathrm{\right)}}{\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{\right)}}$

Simplify ing the top and bottom gives us:

$\frac{\mathrm{-}{\mathit{x}}^{\mathrm{5}}\mathrm{+}\mathrm{3}{\mathit{x}}^{\mathrm{4}}\mathrm{-}{\mathit{x}}^{\mathrm{3}}\mathrm{-}\mathrm{3}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{3}}{\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{5}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{6}\mathrm{\right)}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{-}{\mathit{x}}^{\mathrm{5}}\mathrm{+}\mathrm{3}{\mathit{x}}^{\mathrm{4}}\mathrm{-}{\mathit{x}}^{\mathrm{3}}\mathrm{-}\mathrm{3}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{3}}{{\mathit{x}}^{\mathrm{3}}\mathrm{-}\mathrm{6}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{1}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{6}}$

Again, we would technically need to check for common factors to simplify this ""completely“. To do this, it is enough to determine whether 1, 2, or 3 are zeros of the polynomial in the numerator (since they are the zeros of the polynomial in the denominator). Let's call the numerator $\mathit{P}$, so $\mathit{P}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{-}{\mathit{x}}^{\mathrm{5}}\mathrm{+}\mathrm{3}{\mathit{x}}^{\mathrm{4}}\mathrm{-}{\mathit{x}}^{\mathrm{3}}\mathrm{-}\mathrm{3}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{.}$ $\mathit{P}\mathrm{\left(}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{+}\mathrm{3}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{\ne }\mathrm{0}\mathrm{,}$ $\mathit{P}\mathrm{\left(}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{2}\mathrm{+}\mathrm{4}\mathrm{8}\mathrm{-}\mathrm{8}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{2}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{5}\mathrm{\ne }\mathrm{0}$, and $\mathit{P}\mathrm{\left(}\mathrm{3}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{4}\mathrm{3}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{4}\mathrm{3}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{7}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{7}\mathrm{+}\mathrm{3}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{5}\mathrm{4}\mathrm{\ne }\mathrm{0}$. Therefore, there a no common factors, so the answer above is as simple as possible.

36. We can factor the top and bottom to obtain

$\frac{{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}}{{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}}{\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}}$

There is a common factor $\mathrm{o}\mathrm{f}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}$, so we can cancel this to obtain our final answer:

$\frac{\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}}{\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{1}}$

It should be pointed out that this expression is equal to the first as long as $\mathit{x}\mathrm{\ne }\mathrm{1}\mathrm{.}$

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37. We factor the numerator and denominator to obtain:

$\frac{{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{5}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{6}}{{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{3}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\right)}}{\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\right)}}$

The numerator and denominator here have no common factors. Thus, this expression cannot be simplified.

38. The quickest approach here is to immediately multiply the top and bottom ofthis ""double-decker fr action“ by $\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}$ . Doing this, and canceling things, we obtain:

$\frac{\mathrm{\left(}\frac{\mathit{x}}{\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{3}\mathrm{\right)}}{\frac{\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{1}}{\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}}}\frac{\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}}{\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}}\mathrm{=}\frac{\mathit{x}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{+}\mathrm{3}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}}{\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\right)}}$

Simplifying:

$\frac{{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{3}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{3}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{6}}{{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{3}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{4}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{6}}{{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{3}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{2}}$

The top ofthis can be factored as $\mathrm{2}\mathrm{\left(}\mathrm{2}\mathit{x}\mathrm{+}\mathrm{3}\mathrm{\right)}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\right)}$ , and so has no common factors with the bottom. Therefore, we are done.

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